??用等价无穷小替换原则是:整个识式子中的乘除因子可用等价无穷小替换,而加减时一般不能用等价无穷小替换。
这些等价无穷小的式子来源于泰勒公式展开式,一般取了前面的1到3项。常用的等价无穷小:
如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数。用得较多的是泰勒公式在x=0处的展开式,也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式。
在出现加减的式子中,如果要使用等价无穷小,就需要注意了,否则易算错。
对于f(x)/g(x)型:在使用等价无穷小替换时,如果分母(分子)是x的k次方,本着上
下同阶的原则,应把分子(分母)展开到x的k次方。
上例如果直接用等价无穷小替换,因为分母是x的3次幂,那么分子在用泰勒展开时也取到3次幂,代入可得极限为1/2。
这个例子还有更简便的做法。cosx-1可以用x^2/2替换。